【題目】一個正方形被剖分為4個正方形，剖分圖的邊數為12.若一個正方形被剖分為2005個凸多邊形，試求剖分圖中邊數的最大值.
【答案】正方形剖分為2005個凸多邊形時，邊的最大值為6016.
【解析】
由歐拉定理可知，簡單多面體的頂點數
、面數
、棱數
有如下關系：
.
由歐拉定理容易看出，若一個凸多邊形被剖分為
個凸多邊形，則剖分圖中的頂點數、多邊形數、邊數滿足
. ①
下面在一般的情況下，即正方形被剖分為個凸多邊形時，求剖分圖中邊數的最大值.設剖分圖中的頂點數為、多邊形數為、邊數為.
（1）先求邊數的上界.
設原正方形的4個頂點是
、
、
、
.若凸多邊形的頂點
，則易知
（這里用
表示過頂點
的邊數）.
故
.
注意到這樣的頂點有
個，于是，有個上面的不等式.將它們相加求和，并注意到除去正方形四邊的每條邊恰是兩個凸多邊形的邊，有
.
即
.
因為
，
，
，
.
則
. ②
由式①有
.
將式②代入式③，并整理得
，即
.
（2）構造例子，使邊數
.
如圖，過正方形的一邊相繼作
條鄰邊的平行線，正方形被剖分為個矩形，易知，邊數
.
綜上所述，剖分圖中邊數的最大值為
.
所以，正方形剖分為2005個凸多邊形時，邊的最大值為6016.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若橢圓的左焦點為
，過點的直線
與橢圓交于
兩點，則在
軸上是否存在一個定點
使得直線
的斜率互為相反數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，也請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知△
的三個內角
、
、
所對應的邊分別為
、
、
，復數
，
，（其中
是虛數單位），且
.
（1）求證：
，并求邊長的值；
（2）判斷△的形狀，并求當
時，角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝
，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，點M、E分別是PA、PD的中點
(1)求證：CE//平面BMD
(2)點Q為線段BP中點，求直線PA與平面CEQ所成角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
，在
處的切線方程為
.
（1）求
， 
；
（2）若
，證明： 
.
【答案】（1）
， 
；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，得到關于
的方程組，解出即可；
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，令
， 利用導數研究其單調性可得
，
從而證明
.
試題解析：（（1）由題意
，所以
，
又
，所以
，
若
，則
，與
矛盾，故
， 
.
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，
令
，
，
令
當
時， 
， 
單調遞減，且
；
當
時， 
， 
單調遞增；且
，
所以
在
上當單調遞減，在
上單調遞增，且
，
故
，
故
.
【點睛】本題考查利用函數的切線求參數的方法，以及利用導數證明不等式的方法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
， 
為參數），以坐標原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
，若直線
與曲線
相切；
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）在曲線
上取兩點
， 
與原點
構成
，且滿足
，求面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠共有男女員工500人，現從中抽取100位員工對他們每月完成合格產品的件數統計如下：
每月完成合格產品的件數（單位：百件） |
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 45 | 35 | 6 | 4 |
男員工人數 | 7 | 23 | 18 | 1 | 1 |
（1）其中每月完成合格產品的件數不少于3200件的員工被評為“生產能手”.由以上統計數據填寫下面
列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“生產能手”與性別有關？
非“生產能手” | “生產能手” | 合計 | |
男員工 | |||
span>女員工 | |||
合計 |
（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進計件工資制：規定每月完成合格產品的件數在定額2600件以內的，計件單價為1元；超出
件的部分，累進計件單價為1.2元；超出
件的部分，累進計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機選取2人進行工資調查，設實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數為，求的分布列和數學期望.
附：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題：
①函數
與函數
表示同一個函數；
②奇函數的圖象一定通過直角坐標系的原點；
③函數
的圖象可由
的圖象向右平移1個單位得到；
④若函數
的定義域為
，則函數
的定義域為
；
⑤設函數是在區間
上圖象連續的函數，且
，則方程
在區間上至少有一實根．
其中正確命題的序號是________．（填上所有正確命題的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《中華人民共和國民法總則》（以下簡稱《民法總則》）自2017年10月1日起施行.作為民法典的開篇之作，《民法總則》與每個人的一生息息相關.某地區為了調研本地區人們對該法律的了解情況，隨機抽取50人，他們的年齡都在區間
上，年齡的頻率分布及了解《民法總則》的入數如下表：
年齡 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 5 | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 |
了解《民法總則》 | 1 | 2 | 8 | 12 | 4 | 5 |
（1）填寫下面
列聯表，并判斷是否有
的把握認為以45歲為分界點對了解《民法總則》政策有差異；
年齡低于45歲的人數 | 年齡不低于45歲的人數 | 合計 | |
了解 |
|
| |
不了解 |
|
| |
合計 |
（2）若對年齡在
，
的被調研人中各隨機選取2人進行深入調研，記選中的4人中不了解《民法總則》的人數為
，求隨機變量的分布列和數學期望.
參考公式和數據：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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