Question

【題目】如圖，拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于點、，直線、分別與拋物線交于點、.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）求與的面積之和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據拋物線的性質，求得的值，求得拋物線方程；

（2）設直線的方程，代入拋物線方程，同理求得及的方程，并代入拋物線方程求得、，因此求得直線方程，并且求得直線方程恒過定點，因此表示出與的面積，即可求得與的面積之和的最小值.

（1）由題意可知，則，所以拋物線的標準方程；

（2）由題意可知，設直線的方程為，設、，

聯立方程組，消去，整理得，

則，，

設，，

設直線的方程，聯立方程組，

消去，整理得，則，，

則，，同理得到，，

則，

則直線的方程為，

即，

則直線過定點，

所以，，

所以，當且僅當時等號成立.

所以，與的面積之和的最小值.