Question

【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).

(1)求證:在上存在唯一零點(diǎn);

(2)求證:有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

(1) 設(shè)，然后判斷函數(shù)在上的符號(hào)，得出的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理判斷在上是否存在唯一零點(diǎn)即可；

(2) 分，，和三種情況分別考慮的零點(diǎn)存在情況，從而得證．

(1)設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，

所以在上有唯一的零點(diǎn)，所以命題得證．

(2) ①由(1)知：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減;

所以在上存在唯一的極大值點(diǎn)

所以

又因?yàn)?/span>

所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)．

又因?yàn)?/span>

所以在上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，

所以在上單調(diào)遞減，所以

所以當(dāng)時(shí)，恒成立

所以在上沒有零點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，

設(shè)，

所以在上單調(diào)遞減，所以

所以當(dāng)時(shí)，恒成立

所以在上沒有零點(diǎn)．

綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．