Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點．

（1）求過點的切線方程（用表示）；

（2）過直線上一點作拋物線的兩條切線，切點為，求與（為拋物線的頂點）面積之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）3

【解析】

（1）設出切線方程，聯立拋物線方程后化簡，并令；將點帶入拋物線方程，聯立后求得，代入直線方程即可求得切線方程.

（2）設，，結合（1）中的結論表示出和的方程，進而可得的方程，確定所過定點坐標；聯立和拋物線方程，由韋達定理表示出，，進而表示出，結合基本不等式即可求得最小值.

（1）設過點的切線方程為，

則聯立方程，化簡可得，

因為直線與拋物線相切，則，得，

而為拋物線上一點，則，

代入可得，得，

，即，

即切線方程為．

（2）設，，

由（1）可知切線的方程為，的方程為，

又均過，

，，

故的方程為，由此可得恒過定點，

由得，

，

設，則，

當且僅當，即時，等號成立

的最小值為3．