Question

【題目】已知函數(shù)，.

(1)求的值；

(2)令在上最小值為，證明：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析．

【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；

(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，即，即可證出．

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

又，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，令得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

所以要使在時(shí)恒成立，則只需，即，

令，，

所以，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，

即，又，所以，

故滿(mǎn)足條件的的值只有

(2)由(1)知，所以，

令，則，

當(dāng)，時(shí)，即在上單調(diào)遞增；

又，，所以，使得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且

所以，

即，所以，即．