Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，設(shè)點(diǎn)，，為拋物線上的動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），連結(jié)并延長交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、并分別延長交拋物線于點(diǎn)、，連結(jié)，設(shè)、的斜率存在且分別為、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在與無關(guān)的常數(shù)，是的恒成立，若存在，請將用、表示出來；若不存在請說明理由.

Answer 1

（1）2；（2）.

試題分析：（1）依題意求直線的方程，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程組消去得到關(guān)于的方程，由韋達(dá)定理求出
，在根據(jù)弦長公式求解；（2）設(shè)求直線的方程代入拋物線方程，消去得到關(guān)于的方程，找到的關(guān)系是，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，同理用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由于三點(diǎn)共線，找到的關(guān)系，最后用斜率公式求，整理即得.
試題解析：(1)直線，設(shè)





           4分
（2）設(shè)
則直線的方程為：，代入拋物線方程，
整理得，
，即
從而，故點(diǎn)
同理，點(diǎn)          8分
三點(diǎn)共線


即
整理得
所以，

即                   13分