Question

在平面直角坐標系中，已知點及直線，曲線是滿足下列兩個條件的動點的軌跡：①其中是到直線的距離；②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點，求橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

（1） ；（2）  

試題分析：（1）求出是到直線的距離d和的表達式，由=2d建立等式，整理得在把代入中求出x的取值范圍即可.
（2）由導數的幾何意義求出直線m的斜率，求出直線m的參數方程，然后代入曲線C₂方程中，消去y得到關于x的一元二次方程，由直線與橢圓相切，所以△==0，而又二者聯立起來解出a²，b²，由a²>b²，求出參數t的取值范圍，在根據橢圓離心率e的定義就可求出其范圍.
試題解析：解：（1），
，                            2分
由①得：
，
即                                    4分
將代入②得：，
解得：
所以曲線的方程為：                        6分
（2）(解法一)由題意，直線與曲線相切，設切點為，
則直線的方程為，
即                               7分
將代入橢圓 的方程，并整理得：

由題意，直線與橢圓相切于點，則
，
即                               9分
又 即 聯解得：         10分
由及得
故，                           12分
得又故
所以橢圓離心率的取值范圍是                  14分
（2）(解法二)設直線與曲線、橢圓 均相切于同一點則                    7分
由知;
由知,
故                            9分
聯解,得                  10分
由及得
故，                           12分
得又故
所以橢圓離心率的取值范圍是                  14分