Question

已知橢圓C：的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數，直線與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁,k₂,且k₁＋k₂＝2，證明：直線AB過定點(―1,―1)

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析

試題分析：（I）由等軸雙曲線的離心率為，可得橢圓的離心率，因為直線，與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，利用點到直線的距離公式和直線與圓相切的性質可得，，再利用即可得出；（II）分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，①不存在時比較簡單；②斜率存在時，設直線AB的方程為，由橢圓 與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及斜率公式，再利用即可證明
試題解析：（Ⅰ）由題意得
，                                          2分
即，解得                        4分
故橢圓C的方程為                              5分
（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，設A,則B，由k₁＋k₂＝2得
，得                           7分
當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+b（）,,

得，   9分

即
由，             11分
即
故直線AB過定點(―1,―1)                          13分