Question

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）﹒

試題分析：（1）由題意知圓心的坐標為，半徑為1，拋物線的準線方程為，因為圓心到拋物線準線的距離為，所以有，解得，從而求出拋物線方程為.
（2）由題意可知，直線軸，可求出點的坐標為，此時直線與的傾斜角互補，即，又設點、的坐標分別為、，則，，所以有，即，整理得，所以.
（3）由題意可設點、的坐標分別為、，則，，因為、是圓的切線，所以、，因此，，由點斜式可求出直線、的直線方程分別為、，又點在拋物線上，有，所以點的坐標為，代入直線、的方程得、，可整理為、，從而可求得直線的方程為，令，得直線在上的截距為，考慮到函數為單調遞增函數，所以.
試題解析：（1）∵點到拋物線準線的距離為，
∴，即拋物線的方程為．                 2分
（2）法一：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，
設，，
∴，  ∴ ，
∴．   ．         7分
法二：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，可得，，∴直線的方程為，
聯立方程組，得，
∵  ∴，．
同理可得，，∴．         7分
（3）法一：設，∵，∴，
可得，直線的方程為，
同理，直線的方程為，
∴，，
∴直線的方程為，
令，可得，
∵關于的函數在單調遞增，  ∴．      14分
法二：設點，，．
以為圓心，為半徑的圓方程為，①
⊙方程：．②
①-②得：
直線的方程為．
當時，直線在軸上的截距，
∵關于的函數在單調遞增，  ∴．          14分