Question

【題目】已知函數f（x）=1﹣ 在R上是奇函數．
（1）求a；
（2）對x∈（0，1]，不等式sf（x）≥2x﹣1恒成立，求實數s的取值范圍；
（3）令g（x）= ，若關于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知f（0）=0．即 ，

所以a=2．此時f（x）= ，

而f（﹣x）= ，

所以f（x）為奇函數，故a=2為所求

（2）解：由（1）知 ，

因為x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，

故sf（x）≥2x﹣1恒成立等價于s≥2x+1恒成立，

因為2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．

故s的取值范圍是[3，+∞）

（3）解：因為 ．

所以g（2x）﹣mg（x+1）= ．

整理得22x﹣2m2x﹣m+1=0．

令t=2x＞0，則問題化為t2﹣2mt﹣m+1=0有一個正根或兩個相等正根．

令h（t）=t2﹣2mt﹣m+1（t＞0），則函數h（t）=t2﹣2mt﹣m+1在（0，+∞）上有唯一零點．

所以h（0）≤0或 ，

由h（0）≤0得m≥1，

易知m=1時，h（t）=t2﹣2t符合題意；

由 解得 ，

所以m= ．

綜上m的取值范圍是

【解析】（1）根據f（0）=0可求得a的值，然后驗證a的取值滿足函數為奇函數；（2）分離參數法，將問題轉化為函數的最值問題求解；（3）可先將方程化簡，然后問題轉化為一元二次方程在指定區間上根的分布問題，然后再進一步求解．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．