Question

【題目】已知函數y=f（x）對于任意x∈R有 ，且當x∈[﹣1，1]時，f（x）=x2+1，則以下命題正確的是： ①函數數y=f（x）是周期為2的偶函數；
②函數y=f（x）在[2，3]上單調遞增；
③函數 的最大值是4；
④若關于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有實根，則實數m的范圍是[0，2]；
⑤當x1 ， x2∈[1，3]時， ．
其中真命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：∵ ， ∴f（x+2）=﹣ =f（x），
∴f（x）是周期為2的函數，故①正確；
又因為當x∈[﹣1，1]時，f（x）=x2+1，可知f（x）的圖象，由圖象可知②正確；
由圖象可知f（x）=t∈[1，2]，函數 在[1，2]上單調遞減，所以最大值為5，最小值為4，故③錯誤；
因為x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有實根，所以[f（x）]2﹣f（x）=m，因為f（x）∈[1，2]，所以[f（x）]2﹣f（x）∈[0，2]，故m的范圍是[0，2]，故④正確；
⑤由圖象可知當x1 ， x2∈[1，3]時， ，故⑤錯誤．
所以答案是：①②④．