Question

【題目】已知點A（﹣ ，0），B（ ，0），動點E滿足直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ．
（1）求動點E的軌跡C的方程；
（2）設過點F（1，0）的直線l1與曲線C交于點P，Q，記點P到直線l2：x=2的距離為d．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）過點F作直線l1的垂線交直線l2于點M，求證：直線OM平分線段PQ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設E（x，y），

依題意得 ，

整理得 ，

∴動點E的軌跡C的方程為 ．

（2）解：（ⅰ）F（1，0），設P（x1，y1）則 ，

∴ =

= ．

（ⅱ）依題意，設直線PQ：x=my+1，Q（x2，y2），

聯立 可得（2+m2）y2+2my﹣1=0，

顯然 ，

所以線段PQ的中點T坐標為 ，

又因為FM⊥l1故直線FM的方程為y=﹣m（x﹣1），

所以點M的坐標為（2，﹣m），

所以直線OM的方程為： ，

因為 滿足方程 ，

故OM平分線段PQ．

【解析】（1）直譯法，利用斜率公式可求軌跡方程；（2）先設出直線l1的方程，然后帶入橢圓方程，通過消元化簡得到關于x的一元二次方程，結合韋達定理，點到直線距離公式將所求表示出來，帶入結論化簡即可；（3）要證結論，只需分別求出直線OM的方程，PQ中點的坐標，然后證明坐標適合方程即可．