Question

【題目】某中學剛搬遷到新校區，學校考慮，若非住校生上學路上單程所需時間人均超過20分鐘，則學校推遲5分鐘上課．為此，校方隨機抽取100個非住校生，調查其上學路上單程所需時間（單位：分鐘），根據所得數據繪制成如下頻率分布直方圖，其中時間分組為[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）從統計學的角度說明學校是否需要推遲5分鐘上課；
（3）若從樣本單程時間不小于30分鐘的學生中，隨機抽取2人，求恰有一個學生的單程時間落在[40，50]上的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：時間分組為[0，10）的頻率為

1﹣10（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，

∴a= =0.015，

所以所求的頻率直方圖中a的值為0.015．

（2）解：100個非住校生上學路上單程所需時間的平均數：

=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7，

因為16.7＜20，

所以該校不需要推遲5分鐘上課．

（3）解：依題意滿足條件的單程所需時間在[30，40）中的有3人，不妨設為a，b，c，

單程所需時間在[40，50）中的有2人，不妨設為A，B，

從單程所需時間不小于30分鐘的5名學生中，隨機抽取2人共有以下10種情況：

（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）其中恰有一個學生的單程所需時間落在[40，50]中的有以下6種：

（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），

故恰有一個學生的單程所需時間落在[40，50]中的概率P= =

【解析】（Ⅰ）根據頻率分布直方圖矩形面積之和為1，可求出直方圖中的a的值；（Ⅱ）先求出上學所需時間的平均值，再與20比較即可得到答案；（Ⅲ）根據分層抽樣確定[30，40）和[40，50）抽取的人數，列舉任意抽取兩人的基本事件，找出恰有一個學生的單程時間落在[40，50]上事件包含的基本事件，利用概率公式計算即可．
【考點精析】利用頻率分布直方圖對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．