Question

【題目】已知函數f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0， ]
（1）求證：f（x）≤0；
（2）若a＜ ＜b對x∈（0， ）上恒成立，求a的最大值與b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=xcosx﹣sinx得

f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，

此在區間∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，

所以f（x）在區間∈[0， ]上單調遞減，

從而f（x）≤f（0）=0

（2）解：當x＞0時，“ ＞a”等價于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等價于“sinx﹣bx＜0”

令g（x）=sinx﹣cx，則g′（x）=cosx﹣c，

當c≤0時，g（x）＞0對x∈（0， ）上恒成立，

當c≥1時，因為對任意x∈（0， ），g′（x）=cosx﹣c＜0，

所以g（x）在區間[0， ]上單調遞減，

從而，g（x）＜g（0）=0對任意x∈（0， ）恒成立，

當0＜c＜1時，存在唯一的x0∈（0， ）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，

g（x）與g′（x）在區間（0， ）上的情況如下：

x	（0，x0）	x0	（x0， ）
g′（x）	+		﹣
g（x）	↑		↓

因為g（x）在區間（0，x0）上是增函數，

所以g（x0）＞g（0）=0進一步g（x）＞0對任意x∈（0， ）恒成立，

當且僅當

綜上所述當且僅當 時，g（x）＞0對任意x∈（0， ）恒成立，

當且僅當c≥1時，g（x）＜0對任意x∈（0， ）恒成立，

所以若a＜ ＜b對x∈（0， ）上恒成立，則a的最大值為 ，b的最小值為1

【解析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在區間∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在區間∈[0， ]上單調遞減，從而f（x）≤f（0）=0．（2）當x＞0時，“ ＞a”等價于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等價于“sinx﹣bx＜0”構造函數g（x）=sinx﹣cx，通過求函數的導數討論參數c求出函數的最值，進一步求出a，b的最值．
【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．