Question

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，及點(diǎn)，且、、成等比數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率不為的動(dòng)直線過點(diǎn)且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，記，線段上的點(diǎn)滿足，試求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由題意可得出關(guān)于、的方程組，可求出、的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）解法一：設(shè)點(diǎn)、、，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程，變形后相減可得，再由、，經(jīng)過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，由點(diǎn)在橢圓內(nèi)得到，再由三角形的面積公式可求得面積的取值范圍；

解法二：設(shè)點(diǎn)、、，由、，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，由代入韋達(dá)定理并消去，得出，進(jìn)而得出，再由三角形的面積公式可求得面積的取值范圍；

解法三：設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，并列出韋達(dá)定理，利用向量的線性運(yùn)算可得出，并求出原點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.

（1）依題意，解得，，

所以橢圓的方程是；

（2）解法一：

設(shè)、、，則，

相減得：，

又由，知，，

由，知，，

代入式得：，即，

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，

所以的面積；

解法二：設(shè)，，，則，，

設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程得：

，由得，．

所以，消去得到，

所以，

因此的面積；

解法三：設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程得：

，由得，．

所以，，

，

原點(diǎn)到直線的距離，

所以的面積，

因?yàn)?/span>，所以．