Question

【題目】設數列的前項和為，且.

（1）求證：數列為等比數列；

（2）設數列的前項和為，求證： 為定值；

（3）判斷數列中是否存在三項成等差數列，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）不存在

【解析】試題分析：（1）依據題設探求出，再運用等比數列的定義進行推證；（2）借助等比數列的前項和公式分別求出， ，然后再求其比值；（3）假設存在滿足題設條件的三項，然后運用假設進行分析推證，找出矛盾，從而斷定不存在假設的三項：

解：（1）當時， ，解得.

當時， ，即.

因為，所以，從而數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以.

（2）因為，所以，

故數列是以4為首項，4為公比的等比數列，

從而， ，

所以.

（3）假設中存在第項成等差數列，

則，即.

因為，且，所以.

因為，

所以，故矛盾，

所以數列中不存在三項成等差數列.