Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數a的值；

（2）若函數在上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（3）當時，若方程有兩個相異實根，，，求證．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先利用導數的幾何意義求出切線斜率，進而利用兩直線的垂直關系建立參數所滿足的方程進行求解；

（2）將函數的單調性轉化為導函數的符號不變性進而分離參數，將不等式恒成立轉化為新函數的最值問題，再利用導數求解最值，從而求得實數的取值范圍；

（3）當時，若方程有兩個相異實根，，，即，令，討論的單調性，得，令，，

設，，求的單調性，得，即，結合的單調性即可證得結論.

（1）依題意知的定義域為，

求導得，

根據題意的斜率為，

所以在處的切線斜率為3，

即，.

（2）令，

依題意有對恒成立，即恒成立，

，

單調遞減，，

實數a的取值范圍為.

（3）當時，若方程有兩個相異實根，，，

即，

又令，，

在上遞減，遞增，則，，且，

又，故，，，，

，

設，，，

在遞增，，

，又在上遞減，

，即.