Question

【題目】已知橢圓 (a>b>0)的離心率為.

(Ⅰ)若原點到直線x＋y－b＝0的距離為，求橢圓的方程；

(Ⅱ)設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A，B兩點，對于橢圓上任意一點M，總存在實數λ、μ，使等式成立，求λ2＋μ2的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)λ2＋μ2＝1

【解析】試題分析：（1）由點到直線的距離公式與，可得a,b,c及橢圓方程。（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，橢圓方程為x2＋3y2＝3b2，設直線方程為y＝x－c，直線與橢圓方程組方程組得到A,B點坐標的韋達定理，由等式，可得M(),把A，B,M三點坐標代入橢圓方程，及韋達可得λ2＋μ2＝1.

試題解析：(Ⅰ)∵d＝＝，∴b＝2.

又∵e＝＝，∴e2＝，

∴b2＝a2－c2＝a2＝4，得a2＝12，b2＝4.

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)∵e＝＝，∵a2＝b2＋c2，

∴a2＝3b2，∴橢圓方程為x2＋3y2＝3b2，

又直線方程為y＝x－c，

聯立4x2－6cx＋3c2－3b2＝0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2，

顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量，有且只有一對實數λ，μ，使得等式成立．

設M(x，y)，則由得,

代入橢圓方程整理得λ2＋μ2＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.

又∵＝3b2， ＝3b2，

x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0，

∴λ2＋μ2＝1.