Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．

（Ⅱ）求的單調區間．

（Ⅲ）設，其中，證明：函數僅有一個零點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調增區間為單調減區間為（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，所以，又可得在處的切線方程（Ⅱ）令，解出，令，解出，可得的單調區間．（Ⅲ） ， 在單調遞增在單調遞減，在單調遞增，且極大值， 極小值可得在無零點，在有一個零點，所以有且僅有一個零點．

試題解析：（Ⅰ）∵， ，

∴． ，

∴在處切線為，即為．

（Ⅱ）令，解出，令，解出．

∴的單調增區間為，單調減區間為．

（Ⅲ） ，

．

令，解出或，令，解出．

∴在單調遞增在單調遞減，在單調遞增，

極大值， 極小值，

∵在時， 極大值小于零，

在時， 極小值小于零．在， 單調遞增，說明在無零點，在有一個零點，∴有且僅有一個零點．