Question

【題目】已知函數，各項均不相等的數列滿足．令．給出下列三個命題：

(1)存在不少于3項的數列，使得；

(2)若數列的通項公式為，則對恒成立；

(3)若數列是等差數列，則對恒成立．

其中真命題的序號是（ ）

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意得是奇函數，只需考查時，的奇偶性，而和都在上是增函數，所以在上是增函數，即時，
對于（1），取即可判斷；

對于（2），運用等比數列的求和公式和三角函數的性質，即可判斷；
對于（3），運用等差數列的性質和函數的性質，以及不等式的性質，結合函數的單調性，即可判斷．

由題意得，所以是奇函數，只需考查時，的奇偶性，而和都在上是增函數，所以在上是增函數；

所以在上是增函數.設，

若，則 即，

若，則 即，

∴時，
對于（1），取則因此（1）正確；
對于（2），∵，∴ ，
又時，

，

令，則，

所以，

因為，所以，所以，

所以，即，

所以，所以，

又因為，

所以，即對于恒成立，故（2）正確；
對于（3），因為數列是等差數列，若 ，
若則，可得 相加即可得到，所以

若則，可得

相加即可得到，所以
故（3）正確．
故選：D．