Question

【題目】設直線l的方程為y=kx+b（其中k的值與b無關），圓M的方程為x2+y2﹣2x﹣4=0．
（1）如果不論k取何值，直線l與圓M總有兩個不同的交點，求b的取值范圍；
（2）b=1，l與圓交于A，B兩點，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：若不論k取何值，直線l與圓M總有兩個不同的交點，

則（0，b）點在圓M：x2+y2﹣2x﹣4=0的內部，

即b2﹣4＜0，

解得：﹣2＜b＜2

（2）解：當b=1時，l必過（0，1）點，

當l過圓心時，|AB|取最大值，即圓的直徑，

由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半徑r= ，

故|AB|的最大值為2 ，

當l和過（0，1）的直徑垂直時，|AB|取最小值．

此時圓心M（1，0）到（0，1）的距離d= ，

|AB|=2 =2 ，

故|AB|的最小值為2

【解析】（1）若不論k取何值，直線l與圓M總有兩個不同的交點，則（0，b）點在圓M：x2+y2﹣2x﹣4=0的內部，進而得到b的取值范圍；（2）b=1時，l必過（0，1）點，當l過圓心時，|AB|取最大值，當l和過（0，1）的直徑垂直時，|AB|取最小值．