Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2alnx．
（1）若函數f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實數a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若函數 在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．

（2）

函數f（x）的定義域為（0，+∞）．

（i）當a≥0時，f'（x）＞0，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；

（ii）當a＜0時 ．

當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數f（x）的單調遞減區間是 ；

單調遞增區間是 ．

（3）

由 得 ，

由已知函數g（x）為[1，2]上的單調減函數，

則g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，

即 在[1，2]上恒成立．

即 在[1，2]上恒成立．

令 ，在[1，2]上 ，

所以h（x）在[1，2]為減函數. ，

所以

【解析】（Ⅰ）先對函數求導，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函數f（x）的定義域為（0，+∞），要判斷函數的單調區間，需要判斷導數 的正負，分類討論：分（1）當a≥0時，（2）當a＜0時兩種情況分別求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函數g（x）為[1，2]上的單調減函數，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即 在[1，2]上恒成立，要求a的范圍，只要求解 ，在[1，2]上的最小值即可
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．