Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其它四個側面都是側棱長為 的等腰三角形．
（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；
（Ⅱ）在線段AB上是否存在一點E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，請指出點E的位置并證明，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，設M，N分別是AB和CD的中點，連接PM，MN，PN∵PA=PB，M是AB的中點
∴PM⊥AB
又在正方形ABCD中有MN⊥AB
∴∠PMN為二面角P﹣AB﹣C的平面
∵ ，AB=2，M是AB的中點
∴PM=2
同理可得PN=2，又MN=2
∴△PMN是等邊三角形，故∠PMN=60°
∴二面角P﹣AB﹣C為60°，
（Ⅱ）存在點E，使平面PCE⊥平面PCD，此時E為線段MB的中點．理由如下
如圖，設E，F，G分別為MB，PN和PC的中點，連接MF，FG，EG，EC
由（Ⅰ）知△PMN是等邊三角形，故MF⊥PN
∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N
∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF
又CD∩PN=N
∴MF⊥平面PCD
∵F，G分別為PN和PC的中點
∴FG=∥
又E為線段MB的中點
∴FG=∥ME，故四邊形EMFG為平行四邊形
∴EG∥MF
∴EG⊥平面PCD
又EG平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD．

【解析】（Ⅰ）設M，N分別是AB和CD的中點，連接PM，MN，PN，推導出PM⊥AB，MN⊥AB，從而∠PMN為二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的大小．（Ⅱ）設E，F，G分別為MB，PN和PC的中點，連接MF，FG，EG，EC，推導出MF⊥PN，CD⊥MF，從而MF⊥平面PCD，推導出四邊形EMFG為平行四邊形，從而EG⊥平面PCD，由此得到存在點E，使平面PCE⊥平面PCD，此時E為線段MB的中點．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．