Question

【題目】已知函數，.

（1）若在區間上單調遞增，求m的取值范圍；

（2）求在區間上的最小值；

（3）討論在區間上的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，函數有2個零點，當或時，函數有1個零點.

【解析】

（1）求出函數的對稱軸，根據函數的單調性求出m的范圍即可；

（2）通過討論m的范圍，得到函數的單調區間，求出函數的最小值即可.

（3）結合二次函數的實根分布即可求解

（1）由題意，函數開口向上，對稱軸的方程為，

若使得函數在上單調遞增，則滿足，解得，

即實數m的取值范圍.

（2）①當即時，函數在區間單調遞增，

所以函數的最小值為；

②當，即時，

函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增，

所以函數的最小值為；

③當即時，函數在區間單調遞減，

所以函數的最小值為，

綜上可得，函數的最小值為.

（3）因為函數的對稱軸方程為，且恒成立，

①當，即時，函數在區間上有2個零點；

②當，此時m不存在；

③當，此時m不存在；

④當，即，解得或時，函數在區間上有1個零點.

綜上可得：當時，函數在區間上有2個零點，

當或時，函數在區間上有1個零點.