Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上為減函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為，單調減區間為；（2）

【解析】

（1）當時，直接對求導，利用導數研究函數的單調性，解不等式和，即可求出的單調區間；

（2）根據函數在區間上為減函數，利用分離參數法，得出對恒成立，構造函數，根據導數確定在區間上的單調性，從而求出，即可得出實數的取值范圍．

解：（1）由題可知，，的定義域為，

當時，，

，

令，而，則，解得：，

令，而，則，解得：，

的單調增區間為，單調減區間為.

（2）由于，的定義域為，

因為函數在區間上為減函數，

對恒成立，

即對恒成立，

令，則，

可知，當時，，即，

即在區間上，故在區間上單調遞增，

則，

所以，

即實數的取值范圍為.