Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）當a=1時，求函數的單調區間：

（Ⅱ）求函數的極值；

（Ⅲ）若函數有兩個不同的零點，求a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調減區間為（1，+） ，增區間為（0,1）; （Ⅱ）見解析（Ⅲ）a>1

【解析】

（Ⅰ）當a=1, f′（x）=,解f′（x）<0和f′（x）>0確定單調區間；（Ⅱ）f′（x），討論a≤0和a＞0時f′（x）的符號，確定單調性和極值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知當 a≤0時，f(x)至多有一個零點，舍去；當a＞0時，函數的極小值為f(a)=設函數g(x)=lnx+x-1，求導確定g（x）：當0<x<1時，g(x)<0;x>1時，g(x)>0，分情況討論：當0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0，f(x)至多有一個零點，不符合題意；當a>1時，由零點存在定理確定（）和（a,3a-1）各有一個零點，則a可求

（Ⅰ）當a=1時,, f′（x）=

當f′（x）<0時，x>1; f′（x）>0時，0<x<1

∴函數的單調減區間為（1，+） ，增區間為（0,1）

（Ⅱ）f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x），

若a≤0，則f′（x）＜0，此時f（x）在（0，+∞）遞減，無極值

若a＞0，則由f′（x）＝0，解得：x＝a，

當0＜x＜a時，f′（x）>0，當x＞a時，f′（x）<0，

此時f（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減；

∴當x=a時，函數的極大值為f(a)=，無極小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

當 a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞減，則f(x)至多有一個零點，不符合題意，舍去；

當a＞0時，函數的極小值為f(a)=，

令g(x)=lnx+x-1(x>0)

∵ ∴g(x)在（0，+∞）單調遞增，又g(1)=0, ∴0<x<1時，g(x)<0;x>1時，g(x)>0

(i) 當0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0,則函數f(x)至多有一個零點，不符合題意，舍去；

(ii) 當a>1時，f(a)=ag(a)>0

∵∴函數f(x)在（）內有一個零點，

∵f(3a-1)=aln(3a-1)-

設h(x)=lnx-x(x>2)

∵ ∴h(x)在（2，+∞）內單調遞減，則h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0

∴函數f（x）在（a,3a-1）內有一個零點.則當a>1時，函數f(x)恰有兩個零點

綜上，函數有兩個不同的零點時，a>1