Question

【題目】已知拋物線，圓，點為拋物線上的動點， 為坐標原點，線段的中點的軌跡為曲線.

（1）求拋物線的方程；

（2）點是曲線上的點，過點作圓的兩條切線，分別與軸交于兩點.

求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得，設中點坐標，表示出點，將其代入到拋物線方程中，即可得到拋物線的方程；（Ⅱ）由題意可設切線方程為： ，進而得到切線與x軸的交點為，由圓心到切線方程的距離為半徑，得到，由韋達定理，可得到的函數關系式，利用函數的單調性可求出面積最小值.

試題解析：

（Ⅰ）設，則點在拋物線上，

所以，即，所以曲線C的方程為： ．

（Ⅱ）設切線方程為： ，令y=0，解得，

所以切線與x軸的交點為，圓心(2，0)到切線的距離為，

∴，

整理得： ，

設兩條切線的斜率分別為，

則，

∴

記，則，

∵，

∴在上單增，∴，∴，

∴面積的最小值為．