Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．點M是棱C₁B₁上的動點．
（1）當AC₁∥平面BMN時，確定點M點在棱C₁B₁上的位置；
（2）在（1）的條件下，求二面角B₁-BM-N的平面角的正切值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,簡單空間圖形的三視圖,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）點M滿足C₁M=

1

2

MB₁，AC₁∥平面BMN，證明OM∥AC₁，由線面垂直的判定定理，得到答案．
（2）利用面積射影法求出二面角B₁-BM-N的平面角的余弦值，即可求出二面角B₁-BM-N的平面角的正切值．

解答： 解：（1）點M滿足C₁M=

1

2

MB₁，AC₁∥平面BMN，
由三視圖可知，四邊形ABB₁N為直角梯形，∴AN∥BB₁且AO=

1

2

OB₁，
∵C₁M=

1

2

MB₁，∴OM∥AC₁，
又OM?平面BMN，AC₁?平面BMN，∴AC₁∥平面BMN；
（2）S△B1BM=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

，
△BMN中，BM=

4+ 4 9

=

2 10

3

，BN=

2

，MN=

2+ 4 9

=

22

3

，
∴BN²+MN²=BM²，
∴S_△BMN=

1

2

×

2

×

22

3

=

11

3

，
設二面角B₁-BM-N的平面角為α，則cosα=

2

11

，∴tanα=

7

2

點評：本題主要考查線面平行關系，及二面角的平面角等基礎知識，考查空間想象能力、抽象概括能力和運算求解能力．其中根據已知三視圖分析出幾何體的形狀及幾何特征是解答本題的關鍵．