Question

如圖，已知在三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．
（1）求向量

AB

+

AC

+

BC

的模；
（2）若長為10的線段PQ以點A為中點，問

PQ

與

BC

的夾角θ取何值時

BP

•

CQ

的值最大？并求這個最大值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的數量積性質即可得出；
（2）利用向量的三角形法則和數量積的性質即可得出．

解答： 解：（1）|

AB

+

AC

+

BC

|=

( AB + AC + BC )2

=

AB 2+ AC 2+ BC 2+2 AB • AC +2 AB • BC +2 AC • BC

=

32+42+52+2×3×4×0+2×3×5×(- 3 5 )+2×4×5× 4 5

=

9+16+25+0-18+32

=

64

=8，
（2）

BP

•

CQ

=(

BA

+

AP

)•(

CA

+

AQ

)
=

BA

•

CA

+

BA

•

AQ

+

AP

•

CA

+

AP

•

AQ

=0+

BA

•

AQ

+

AP

•

CA

+5×5×cos1800
=

BA

•

AQ

-

AQ

•

CA

-25=

AQ

•(

BA

-

CA

)-25=

AQ

•(

BA

+

AC

)-25
=

AQ

•

BC

-25
=

1

2

PQ

•

BC

-25
=

1

2

|

PQ

|•|

BC

|•cos＜

PQ

•

BC

＞-25
=

1

2

×10×5cos＜

PQ

•

BC

＞-25
=25cos＜

PQ

，

BC

＞
當＜

PQ

•

BC

＞=00，即θ=0⁰時，(

BP

•

CQ

)max=25．

點評：本題考查了向量的三角形法則和數量積的性質，屬于中檔題．