Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，左、右頂點分別是A、C，上頂點為B，記△FBC外接圓為圓P．
（Ⅰ）判斷直線AB和圓P能否相切？并說明理由；
（Ⅱ）若橢圓短軸長為2

3

，且橢圓上的點到F點最近距離為1，M、N是該橢圓上滿足|OM|²+|ON|²=7的兩點，求證：|k_OM•k_ON|是定值，并求出此定值；
（Ⅲ）是根據（Ⅱ）的求解過程和結果，將命題進行推廣，得到一個關于橢圓的一般性結論（無需證明）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）假設直線AB能與圓P相切，則k_AB•k_PB=-1，由此推導出c=2a，與0＜c＜a矛盾，從而線AB和圓P不能相切．
（Ⅱ）由a-c=1，2b=2

3

，得橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，由此利用點差法能證明|k_OM•k_ON|是定值

3

4

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）進行歸納整理，結合橢圓性質將命題進行推廣，能得到一個關于橢圓的一般性結論

解答： （Ⅰ）解：由題意FC、BC的中垂直線方程公別為x=

a-c

2

，y-

b

2

=

a

b

(x-

a

2

)，
∴圓心坐標為（

a-c

2

，

b2-ac

2b

），
假設直線AB能與圓P相切，則k_AB•k_PB=-1，
∵kAB=

b

a

，kPB=

b- b2+ac 2b

0- a-c 2

=

b2+ac

b(c-a)

，
∴k_AB•k_PB=

b2+ac

a(c-a)

=-1，
∴a²-c²+ac=a²-ac，
∴c²=2ac，又c＞0，∴c=2a，
這與0＜c＜a矛盾，
∴線AB和圓P不能相切．
（Ⅱ）證明：由a-c=1，2b=2

3

，得a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由M，N在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，
得

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
又|OM|²+|ON|²=7，∴x12+y12+x22+y22=7，
即x12+3(1-

1

4

x12)+x22+3(1-

1

4

x22)=7，即x12+x22=4，
∵|k_OM•k_ON|=|

y1y2

x1x2

|=

y12y22 x12x22

=

3 4 (4-x12)• 3 4 (4-x22) x12x22

=

3

4

16-4(x12+x22)+x12x22 x12x22

=

3

4

，
∴|k_OM•k_ON|是定值

3

4

．
（Ⅲ）解：一般性結論：已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
M，N是該橢圓上滿足|OM|²+|ON|²=a²+b²的兩點，
則|k_OM•k_ON|=

b2

a2

（定值）．

點評：本題橢圓的標準方程的求法，考查兩直線的斜率乘積的絕對值為定值的證明，考查命的推廣，解題時要認真審題，注意點差數的合理運用．