Question

【題目】若數列滿足“對任意正整數，都存在正整數，使得”，則稱數列具有“性質”.已知數列為無窮數列.

（1）若為等比數列，且，判斷數列是否具有“性質”，并說明理由；

（2）若為等差數列，且公差，求證：數列不具有“性質”；

（3）若等差數列具有“性質”，且，求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）數列具有“性質”.見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）由題可知，為等比數列，且，設數列的公比為，則，，根據條件整理得出，所以數列具有“性質”；

（2）由于為等差數列，且公差，則，分類討論和時，都得出不存在正整數，使得，則當時，數列不具有“性質”；

（3）已知等差數列具有“性質”，且，設數列的公差為，則，且對任意，都存在正整數，使得，結合條件可求出或，即可求出數列的通項公式.

（1）解：數列具有“性質”.

由題可知，為等比數列，且，

設數列的公比為，則，，

對任意正整數，，，

因為，所以，則，

即對任意正整數，，存在，使得，

所以數列具有“性質”.

（2）證明：由于為等差數列，且公差，

則，

①若，則，，

所以不存在正整數，使得.

②若，則當時，

，，

所以不存在正整數，使得；

綜上，當時，數列不具有“性質”.

（3） 解：已知等差數列具有“性質”，且，

設數列的公差為，則，

由已知，對任意，都存在正整數，使得，

即，

所以，且 ①

對任意，設，

，，

所以，得，

因此 ②

由（2）知，

又由①、②可得或，

當時，，，不滿足要求，

所以，，

可以驗證滿足要求.