Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點的連線相互垂直.

（1）求橢圓的方程；

（2）若圓上存在兩點，，橢圓上存在兩個點滿足：三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）又題意知，，及即可求得，從而得橢圓方程.

（2）分三種情況：直線斜率不存在時，的斜率為0時，的斜率存在且不為0時，設出直線方程，聯立方程組，用韋達定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計算即可.

（1）由焦點與短軸兩端點的連線相互垂直及橢圓的對稱性可知，，

∵過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

又，解得.

∴橢圓的方程為

（2）由（1）可知圓的方程為，

（i）當直線的斜率不存在時，直線的斜率為0，

此時

（ii）當直線的斜率為零時，.

（iii）當直線的斜率存在且不等于零時，設直線的方程為，

聯立，得，

設的橫坐標分別為，則.

所以，

（注：的長度也可以用點到直線的距離和勾股定理計算.）

由可得直線的方程為，聯立橢圓的方程消去，

得

設的橫坐標為，則.

.

綜上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范圍是.