Question

如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AC⊥DB，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=，PB⊥PD.
（Ⅰ）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的大小；
（Ⅲ）設點M在棱PC上，且，問為何值時，PC⊥平面BMD.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）45°（Ⅲ）

以O為原點，OA，OB，OP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，）.
（1），


故直線PD與BC所成的角的余弦值為
（2）設平面PAB的一個法向量為，
由于
由
取的一個法向量

又二面角P—AB—C不銳角.
∴所求二面角P—AB—C的大小為45°
（3）設三點共線，

                     （1）
               （2）
由（1）（2）知  
   
故