Question

【題目】已知拋物線的焦點為，拋物線上的點到準線的最小距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點作互相垂直的兩條直線、，與拋物線交于兩點，與拋物線交于兩點，分別為弦的中點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）8

【解析】

（1）由拋物線上到準線的距離最小的點是頂點可求得，得拋物線方程；

（2）首先題意說明兩直線的斜率都存在且均不為，設直線的斜率為，則直線的斜率為，設點，，由直線方程與拋物線方程聯立，消元后應用韋達定理求得中點的坐標，求出，同理可得，計算后應用基本不等式可得最小值．

（1）∵拋物線上的點到準線的最小距離為，∴，解得，

∴拋物線的方程為：；

（2）由（1）可知焦點為，

由已知可得，∴兩直線的斜率都存在且均不為，

設直線的斜率為，則直線的斜率為，

∴直線的方程為，

聯立方程，消去得：，

設點，，則，

∵為弦的中點，所以，

由，得，

∴點，

同理可得：，

∴，，

∴，

當且僅當，即，等號成立，

∴的最小值為.