Question

【題目】已知拋物線：，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過，分別作拋物線的切線與，與交于點(diǎn).

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即可得到拋物線的方程；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線的兩條切線方程，再利用直線垂直，得到斜率相乘為，從而求得直線方程為，再利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，即可得答案；

（1）由題意知，拋物線焦點(diǎn)為：，準(zhǔn)線方程為，

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，

所以拋物線的方程為.

（2）拋物線的方程為，即，所以.

設(shè)，，

：，：.

由于，所以，即.

設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，所以.

，，，所以，即：.

聯(lián)立方程，得，即.

點(diǎn)到直線的距離.

，

所以.

當(dāng)時(shí)，面積取得最小值4.