Question

【題目】若正項數列的首項為，且當數列是公比為的等比數列時，則稱數列為“數列”.

（1）已知數列的通項公式為，證明：數列為“數列”；

（2）若數列為“數列”，且對任意，、、成等差數列，公差為.

①求與間的關系；

②若數列為遞增數列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.

【解析】

（1）根據數列的通項公式得出，，結合題中定義可得出結論；

（2）①根據數列為“數列”，可求得，再由、、成等差數列可得出，由此計算出，即可得解；

②推導出，利用累加法可分別求出和的表達式，根據數列為遞增數列可得出對恒成立，由此可求得的取值范圍.

（1），且，，，

所以，數列的首項為且是公比為的等比數列，故為“數列”；

（2）①數列為“數列”，，，

而、、成等差數列，，

；

②由①知，，，，，

所以，數列的奇數項與偶數項分別遞增，

，

，

，，

，

因為，數列單調遞增，對恒成立，

，

故的取值范圍為.