Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若的圖象與直線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2).

【解析】

(1)先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，以及三種情況討論導(dǎo)函數(shù)符號，進(jìn)而確定對應(yīng)單調(diào)性；

(2)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)以及兩種情況討論函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性確定滿足條件的不等式，解得m的取值范圍，最后利用零點(diǎn)存在定理證明所求范圍恰好保證函數(shù)有兩個零點(diǎn).

(1)依題意，，.

①若，則，故在上單調(diào)遞減

②若，令，解得或.

（i）若，則，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

（ii）若，則，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)令，則由題意可知有兩個大于1的實(shí)數(shù)根，顯然.

令，則.

若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

要滿足已知條件，必有此時(shí)無解；

若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

要滿足已知條件，必有解得.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，故函數(shù)在上有一個零點(diǎn).

易知，且，下證：.

令，則，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，故，即，

故，故，

又在上單調(diào)遞增，故在上有一個零點(diǎn).

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.