Question

某調酒師把濃度分別為a和b（a＞b）的兩瓶均為300毫升的酒（分別記為A瓶液體、B瓶液體）進行混合．先把100毫升的A瓶液體倒入B瓶進行充分混合，然后再把100毫升的B瓶液體倒入A瓶進行充分混合，這樣稱為一次操作，依此類推．
（Ⅰ）設經過n次操作后，A瓶液體與B瓶液體的濃度之差為c_n，試寫出c₁，c₂及數列{c_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a=70%，b=10%時，需經過多少次操作后才能使兩瓶酒的濃度之差小于1%？

Answer 1

考點：數列的應用,數列的求和

專題：應用題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）確定b_n+1=

100an+300bn

400

=

1

4

a_n+

3

4

b_n，a_n+1=

100bn+1+200an

300

=

1

3

b_n+1+

2

3

a_n，可得：a_n+1-b_n+1=

1

2

（a_n-b_n），即可寫出c₁，c₂及數列{c_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a=70%，b=10%時，有（0.7-0.1）×

1

2n

＜0.01，由此可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）設a_n，b_n分別為A瓶液體、B瓶液體經過n次操作后的濃度．則a₀=a，b₀=b，
且b_n+1=

100an+300bn

400

=

1

4

a_n+

3

4

b_n，a_n+1=

100bn+1+200an

300

=

1

3

b_n+1+

2

3

a_n．（*）
由（*）可得：a_n+1-b_n+1=

1

2

（a_n-b_n），
即c_n+1=

1

2

c_n，
∴數列{c_n}是以a-b為首項，以

1

2

為公比的等比數列．
∴c_n=（a-b）×

1

2n

．其中c₁=

1

2

（a-b），c₂=

1

4

（a-b）.9分
（Ⅱ） 設經過n次操作后才能使兩瓶酒的濃度之差小于1%，則
當a=70%，b=10%時，有（0.7-0.1）×

1

2n

＜0.01，∴n＞5
即經過6次操作后才能使兩瓶酒的濃度之差小于1%.13分．

點評：本題考查數列的應用，考查利用數學知識解決實際問題，確定數列模型是關鍵．