Question

平面內給定三個向量

a

=（3，2），

b

=（-1，2），

c

=（4，1）
（1）求滿足

a

=m

b

+n

c

的實數m，n；
（2）（

a

+k

c

）∥（2

b

-

a

），求實數k；
（3）設

d

=（x，y）滿足（

d

-

c

）∥（

a

+

b

），且|

d

-

c

|=1，求

d

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的坐標運算和共面向量基本定理即可得出；
（2）利用向量共線定理即可得出；
（3）利用向量共線定理、向量的模的計算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（3，2），

b

=（-1，2），

c

=（4，1）
∴m

b

+n

c

=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n），
∵

a

=m

b

+n

c

，∴

-m+4n=3 2m+n=2

，解得

m= 5 9 n= 8 9

．
∴m=

5

9

，n=

8

9

．
（2））

a

+k

c

=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），2

b

-

a

=2（-1，2）-（3，2）=（-5，2）．
∵（

a

+k

c

）∥（2

b

-

a

），∴-5（2+k）-2（3+4k）=0，解得k=-

16

13

．
（3）

a

+

b

=（2，4），

d

-

c

=（x-4，y-1）．
∵（

d

-

c

）∥（

a

+

b

），且|

d

-

c

|=1，
∴

4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2 =1

解得

x=4+ 5 5 y=1+ 2 5 5

或

x=4- 5 5 y=1- 2 5 5

．
∴

d

=(4+

5

5

，1+

2 5

5

)或(4-

5

5

，1-

2 5

5

)，．

點評：本題考查了向量的坐標運算、共面向量基本定理、向量共線定理、向量的模的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．