Question

【題目】已知函數f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函數．

（Ⅰ）求常數k的值；

（Ⅱ）若a＞1，試判斷函數f（x）的單調性，并加以證明；

（Ⅲ）若a=2，且函數g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[0，1]上的最小值為1，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）k=1； （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）m=1.

【解析】

（Ⅰ）根據定義域為R上的奇函數滿足f（0）=0，代入即可求得k的值。

（Ⅱ）利用定義法，設出x1、x2，通過做差法判斷與0的大小關系即可證明單調性。

（Ⅲ）將a的值代入表達式，化簡即可得g（x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，利用換元法令t=2x-2-x，由x的范圍求得t的范圍。將x的函數轉化為關于t的二次函數，構造h（t）=（t-m）2+2-m2，討論m的取值范圍，進而利用最小值求得m的值。

（Ⅰ）根據題意，函數f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函數，

則f（0）=k-1=0，解可得k=1，

當k=1時，f（x）=ax-a-x，為奇函數，

故k=1.

（Ⅱ）根據題意，設x1＜x2，

f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=（-）（1+），

又由x1＜x2，

則（-）＜0，（1+）＞0，

則f（x1）-f（x2）＜0，

故函數f（x）為R上的增函數；

（Ⅲ）根據題意，若a=2，則函數g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）

=22x+2-2x-2m（2x-2-x）

=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，

令t=2x-2-x，又由x∈[0，1]，則t∈[0，]，

則h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，t∈[0，]，

①，當m≤0時，h（t）min=h（0）=2≠1，不符合題意；

②，當0＜m＜，h（t）min=h（m）=2-m2=1，

解可得m=±1，

又由0＜m＜，則m=1；

③，當m≥時，h（t）min=h（）=-3m=1，

解可得m=＜，不符合題意，

綜合可得：m=1．