Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式得切線方程，求出與坐標軸交點坐標，最后根據三角形面積公式得結果；

（2）解法一：利用導數研究，得到函數得導函數的單調遞增，當a=1時由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到，利用零點的條件，結合指數對數的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.

解法二：利用指數對數的運算可將,

令,上述不等式等價于,注意到的單調性，進一步等價轉化為，令,利用導數求得，進而根據不等式恒成立的意義得到關于a的對數不等式，解得a的取值范圍.

（1），，.

，∴切點坐標為(1,1+e),

∴函數f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,

切線與坐標軸交點坐標分別為,

∴所求三角形面積為;

（2）解法一：,

，且.

設,則

∴g(x)在上單調遞增，即在上單調遞增，

當時，,∴,∴成立.

當時， ，，,

∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，

因此

>1,

∴∴恒成立；

當時， ∴不是恒成立.

綜上所述，實數a的取值范圍是[1,+∞).

解法二：等價于

,

令,上述不等式等價于,

顯然為單調增函數，∴又等價于，即，

令,則

在上h’(x)>0,h(x)單調遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調遞減，

∴,

，∴a的取值范圍是[1,+∞).