Question

【題目】已知四棱錐中，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

【解析】

（1）在中，利用余弦定理，可求得，用勾股定理，可證得，，繼而可證平面，即得證；

（2））以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于的直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解直線的方向向量，平面的法向量，利用線面角的向量公式，即得解

（1）不妨設(shè)，則，，，

因?yàn)?/span>，由余弦定理，，解得，

故，則；

而，則，

因?yàn)?/span>，故平面，

因?yàn)?/span>平面，故平面平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于的直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，由（1）可知，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，

解得，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)平面的法向量為，所以，

所以，令，得，

而，故，故，

設(shè)直線與平面所成角為，則.