Question

【題目】是定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：

①對任意的，都有；

②存在常數，使得對任意的，都有.

（1）設，問是否屬于？說明你的判斷理由；

（2）若，如果存在，使得，證明這樣的是唯一的；

（3）設為正實數，是否存在函數，使？作出你的判斷，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是，詳見解析（2）詳見解析（3）詳見解析

【解析】

（1）根據定義逐一驗證，即求函數在上值域，再判斷是否為子集；根據不等式尋找滿足條件的常數；

（2）利用反證法，假設存在兩個，根據條件得到，即假設不成立，原命題成立；

（3）先根據條件①解不等式確定，再根據條件②利用恒成立轉化為對應函數最值，再解不等式確定.的條件由確定.

（1）因為在上單調遞增，所以；

，

所以存在常數，使得對任意的，都有，

綜上屬于；

（2）設存在，滿足，

因為，

所以存在常數，使得，

即，與矛盾，

因此滿足條件的是唯一的；

（3）假設存在，則因為，且在上單調遞增，所以

，因此；

存在常數，使得對任意的，都有，

，所以，

因為

因此

從而

即當時存在函數，使；否則不存在.