Question

【題目】已知函數在處的切線斜率為2.

（Ⅰ）求的單調區間和極值；

（Ⅱ）若在上無解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 單調遞增區間為，單調遞減區間為和 極小值為，極大值為 (Ⅱ)

【解析】試題分析：

(Ⅰ)結合導函數的解析式有，則，由得或.結合導函數的符號研究函數的性質可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和.則函數的極小值為，極大值為；

(Ⅱ)構造新函數，令，由題意可得在上恒成立.其中，研究其分母部分，記，由題意可得.分類討論：

若，則單調遞減.∴恒成立.

若，則在上單調遞增.而，故與已知矛盾，舍去.

綜上可知， .

試題解析：

解：（Ⅰ）∵ ， ，

∴.

∴， .

令，解得或.

當變化時， 的變化情況如下表：

∴函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和.

∴函數的極小值為，極大值為；

（Ⅱ）令.

∵在上無解，

∴在上恒成立.

∵，記，

∵在上恒成立，

∴在上單調遞減.

∴.

若，則， ，

∴.

∴單調遞減.

∴恒成立.

若，則，存在，使得，

∴當時， ，即.

∴在上單調遞增.

∵，

∴在上成立，與已知矛盾，故舍去.

綜上可知， .