Question

【題目】已知Rt△ABC如圖（1），∠C＝90°，D.E分別是AC，AB的中點，將△ADE沿DE折起到PDE位置（即A點到P點位置）如圖（2）使∠PDC＝60°．

（1）求證：BC⊥PC；

（2）若BC＝2CD＝4，求點D到平面PBE的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)證明垂直平面中的兩條直線再證明平面即可.

(2)取取CD中點建立空間直角坐標系,再利用空間向量解決點到面的距離問題即可.

（1）證明：∵Rt△ABC如圖（1），∠C＝90°，D.E分別是AC，AB的中點，

將△ADE沿DE折起到PDE位置（即A點到P點位置）如圖（2）使∠PDC＝60°．

∴DE⊥DC，DE⊥PD，DE∥BC，

∵PD∩DC＝D，∴DE⊥平面PCD，∴BC⊥平面PCD，

∵PC平面PCD，∴BC⊥PC.

（2）解：∵D.E分別是AC，AB的中點，∠PDC＝60°，BC＝2CD＝4，

∴CD＝PD＝PC＝2，

取CD中點O，BE中點M，連結PO，MO，則OP，OD，OM兩兩垂直，

以O為原點，OD為x軸，OM為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

則D（1，0，0），P（0，0，），B（﹣1，4，0），E（1，2，0），

（1，0，），（﹣1，4，），（1，2，），

設平面PBE的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，1，），

∴點D到平面PBE的距離為：

d．