Question

【題目】設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（MD），有x+l∈D，且f（x+l）f（x），則稱f（x）為M上的l高調函數.現給出下列命題：①函數f（x）=2﹣x為R上的1高調函數；②函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；③如果定義域為[﹣1，+∞）的函數f（x）=x2為[﹣1，+∞）上m高調函數，那么實數m的取值范圍是[2，+∞）；④函數f（x）=lg（|x﹣2|+1）為[1，+∞）上的2高調函數.其中真命題的個數為( )

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

①函數f（x）=2﹣x為R上的單調遞減函數，可判斷其正誤；②由正弦函數的性質可知函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；③定義域為[﹣1，+∞）的函數f（x）=x2為[﹣1，+∞）上m高調函數，只有上至少需要加，從而可求實數m的取值范圍；④f（x）=lg（|x|+1），知函數f（x）=lg（|x﹣2|+1）為[1，+∞）上的2高調函數，從而可判斷④正誤；

①項，由于，故不滿足高調函數定義，故①不正確；

②項，由，滿足高調函數定義，故②項正確；

③項，由函數的定義域知，即，

又由得到，

又因為，故前式恒成立的條件為，故③正確；

④項，因為，其在區域上為增函數，

故，

在區域上，為減函數，，

可見恒成立，故④正確；

故選：D