Question

【題目】已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點，拋物線的焦點在軸上，頂點在坐標原點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于表格中：

（1）求、的標準方程；

（2）已知定點，為拋物線上的一點，其橫坐標為，拋物線在點處的切線交橢圓于、兩點，求面積.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】分析：（1）由兩個方程判斷出點和是橢圓上的點，和是拋物線上的點，代入可求解；

（2）求出P點坐標，得出P點處的切線方程，把切線方程與橢圓方程聯立方程組后消去得的一元二次方程，由橢圓中的弦長公式求得弦長，再求出點C到直線AB的距離后可得面積．

詳解：（1）設橢圓：，因為點在橢圓上，則；

因為點在橢圓上，所以，解得：，所以橢圓：.

設拋物線：，因為點，點在拋物線上，則：.所以拋物線：.

（2）設，，

由題意設（），因為，，

故直線的方程為：，即，

由整理得：，則

，，

則 ，

則到直線的距離，

∴的面積，

∵，∴.