Question

【題目】如圖,在三棱柱中,平面為正三角形, 側面是邊長為的正方形,為的中點.

（1）求證平面;

（2）求二面角的余弦值;

（3）試判斷直線與平面的位置關系,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）直線與平面相交.證明見解析

【解析】

（1）根據線面平行的判定定理,在面內找一條直線平行于即可．所以連接交與點，再連接，由中位線定理可得，即可得證；

（2）取的中點，連接．分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，再根據二面角的向量方法即可求出；

（3）根據平面的法向量與直線的方向向量的關系，即可判斷直線與平面的位置關系．

（1）由題意，三棱柱為正三棱柱．

連接． 設，則是的中點．連接， 由，分別為和的中點，得．又因為平面，平面，

所以平面．

（2）取的中點，連接．

因為為正三角形，且為中點，所以．

由，分別為和的中點，得，

又因為平面， 所以平面，即有，．

分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，，，

設平面的法向量，

由，，得

令，得．

設平面的法向量，

由，，得

令，得．

設二面角的平面角為，則 ．

由圖可得二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．

（3）結論：直線與平面相交．

證明：因為，，且，

所以．

又因為平面的法向量，且，

所以與不垂直，

因為平面，且與平面不平行，

故直線與平面相交．