Question

【題目】已知橢圓的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端點的線段作直徑的圓的周長等于，直線l與橢圓C交于兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點O作直線l的垂線，垂足為D.若，求動點D的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意知，，即可求得橢圓方程；(2)先考慮直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合向量的垂直關(guān)系即可求得m，k的關(guān)系式，從而求得，再驗證斜率不存在時也滿足，則可求得點D的軌跡方程.

（1）由題意知，，解得，所以橢圓C的方程為

（2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，

由消去y整理得，根據(jù)題設(shè)有：

且，.

∵，∴，即，

將，代入，化得，

把，代入整理得：，

∵，∴；

當直線l的斜率不存在時，設(shè)，由得，.

∵，∴，解得，∴

所以動點D的軌跡是以原點O為圓心，半徑為的圓，方程為.