Question

【題目】已知點為平面內一定點，動點為平面內曲線上的任意一點，且滿足，過原點的直線交曲線于兩點.

（1）證明：直線與直線的斜率之積為定值；

（2）設直線，交直線于、兩點，求線段長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可知點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設，則，可得，利用點在橢圓上可得定值；

（2）由（1）可設直線：，則直線：，分別求出、的坐標，表示線段長度，利用均值不等式求最值即可.

（1）設，，

由題意可知，且，

所以，點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且長軸長為4，焦距為，

即，，，

所以，曲線的軌跡方程為.

由已知兩點關于原點對稱，不妨設，則，

所以，，

又因為，點在曲線上，所以，，解得，，

所以，，

所以，直線與直線的斜率之積為定值.

（2）由第（1）可得，，

所以，不妨設直線：，則直線：，

將分別代入直線，直線的方程得，，，

，

因為，，所以，，

當且僅當，即時，取得最小值.